授業概要/Course
Description
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本講義では，曲線・曲面の初等微分幾何から一般次元可微分多様体の基礎的理論（ベクトル場，微分形式，テンソル場）の導入し、可微分多様体上の計量および接続・曲率の基礎理論から出発して、リー群・等質空間，リーマン面，複素多様体，シンプレクティック多様体などの幾つの基本的かつ重要な可微分多様体の幾何学的構造について説明する。現代微分幾何学における基本的概念である極小部分多様体，調和写像，関連するゲージ理論・ヤン‐ミルズ‐ヒッグス方程式や可積分系などについて紹介したい。
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到達目標/Course
Objectives
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曲線，曲面から一般次元の可微分多様体への自然な展開の中で，受講学生が可微分多様体研究の基本的道具であるベクトル場と微分形式の仕組みを理解しそれによる計算力を習得し、現代微分幾何学における幾つかの基本的概念・手法および関係する重要な定理，未解決問題などを，受講学生が知ることを到達目標とする。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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曲線・曲面から可微分多様体へ
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第2回
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曲線・曲面の曲率とは（ガウス曲率・平均曲率）
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第3回
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曲面の曲率に関するガウスの驚異の定理について
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第4回
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可微分多様体の基礎的構造（可微分関数，接ベクトル空間，可微分写像とその微分，微分同相写像）
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第5回
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可微分多様体上のベクトル場（フロー，ブラケット積）と微分形式（外積代数，外微分作用素）
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第6回
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可微分多様体上の可微分分布の対合性とフロベニウスの定理
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第7回
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可微分多様体上のリーマン計量と接続・曲率
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第8回
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可微分多様体上の種々の幾何学的構造（リーマン面，複素多様体，シンプレクティック多様体，リー群）
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第9回
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リー群・リー代数と等質空間，とくに対称空間
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第10回
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リーマン多様体間の写像のエネルギーと調和写像の導入
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第11回
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リー群への調和写像方程式と無限次元可積分構造
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第12回
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調和写像に対する無限次元群作用と無限次元Weierstrass型表現公式（DPW法）
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第13回
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対称空間への調和写像とHiggs束モジュライ空間
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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講義や受講学生の状況を随時考慮しながら、適時、授業内容の調整・工夫・改善に努めたい。
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授業方法/Teaching Method
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本授業は，基本的に対面による講義の形態で提供される。
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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外国語/Foreign Language
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日本語と外国語/Japanese and Foreign Languages
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外国語の種類/Foreign Language Types
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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集合・写像，点集合トポロジー（距離空間・位相空間），微分積分，線形代数を学習していること想定している．さらに，応用数学の基礎的事柄（ベクトル解析，複素関数論，微分方程式，フーリエ解析），代数系の初歩（群・環・体），可微分多様体の基本的事項を学んでいることが望ましい．
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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70
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小テスト/Quizzes
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20
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授業での発表内容、授業への参加度、グループ作業の成果など/Presentation content in class, Participation level in class, Group Work, etc.
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10
%
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毎回出席をとります。
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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一般に可微分多様体の基礎的構造やを正しく理解しているか、集合・位相、微分積分、線形代数、が活かされているそれらを用いて具体的な例や問題を考察したり計算を行うことができるか、などを受講学生の成績評価したい。
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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提出されたレポートや小テスト解答を，担当教員が点検して（可能な範囲で）コメントやアドバイスを付して各学生に返却して指導・情報提供したい。
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教科書/Textbook
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『An Introduction to Manifolds, Second Edition』
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Universitext
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Loring W. Tu
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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Springer
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Second
版
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2011
年
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ISBN 9781441973993
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2.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『Differential Geometry -Connections, Curvature, and Characteristic Classes-』
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Graduate Texts in Mathematics
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Loring W. Tu
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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Springer
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First
版
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2017
年
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ISBN 9783319550824
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3.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups』
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Graduate Texts in Mathematics
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Frank W.Warner
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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Springer
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First
版
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1983
年
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ISBN 9781441928207
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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担当教員が作成した講義資料や演習問題を適時配布する。関連する論文・論説・記事などの参考文献は、授業字に適時提示したい。
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参考文献/Reference
Book
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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その他/Other
Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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