授業概要/Course
Description
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代数学の基本である群論、環論について解説する。抽象的な議論に慣れ親しみ、より高度な代数学への橋渡しとする。群については、部分群、生成系、位数と指数、正規部分群と剰余群、準同型定理、直積群などの基本概念を説明する。環については、整数や多項式が作る集合を主要な例として、整除関係、割り算の定理、素元と既約元、イデアル、剰余環など可換環の基礎事項を解説する。
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到達目標/Course
Objectives
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群に関する基本的な概念を理解し、具体的な計算を実行するアルゴリズムが構築できるようになる。整数や多項式における諸性質を、イデアルや剰余環等による可換環の基本概念を通して理解できるようになる。また、準同型定理の意味を理解し応用できるようになる。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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群の定義、部分群
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第2回
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群の定義、部分群 （演習）
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第3回
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群の生成系、巡回群、位数
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第4回
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群の生成系、巡回群、位数 （演習）
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第5回
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剰余類と剰余類分解、ラグランジュの定理
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第6回
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剰余類と剰余類分解、ラグランジュの定理 （演習）
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第7回
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正規部分群と剰余群、群の準同型写像と準同型定理
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第8回
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正規部分群と剰余群、群の準同型写像と準同型定理 （演習）
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第9回
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群の直積、有限生成アーベル群の基本定理
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第10回
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群の直積、有限生成アーベル群の基本定理 （演習）
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第11回
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中間の理解度の確認（群論について）
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第12回
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中間の理解度の確認（群論について） （解説と演習）
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第13回
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環と体の定義、整数環と多項式環
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第14回
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環と体の定義、整数環と多項式環 （演習）
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第15回
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部分環と生成系、零因子、単元、整域
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第16回
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部分環と生成系、零因子、単元、整域 （演習）
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第17回
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イデアルと剰余環、素イデアルと極大イデアル
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第18回
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イデアルと剰余環、素イデアルと極大イデアル （演習）
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第19回
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環の準同型写像、準同型定理
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第20回
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環の準同型写像、準同型定理 （演習）
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第21回
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単項イデアル整域、一意分解整域
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第22回
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単項イデアル整域、一意分解整域 （演習）
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第23回
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既約多項式
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第24回
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既約多項式 （演習）
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第25回
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さまざまな代数系の紹介
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第26回
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総括的な演習
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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原則として、奇数回目は講義（火曜2時限に中野が担当）、偶数回目は演習（木曜5時限に長岡が担当）。
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授業方法/Teaching Method
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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外国語/Foreign Language
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日本語と外国語/Japanese and Foreign Languages
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外国語の種類/Foreign Language Types
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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講義の後では復習を欠かさず、指示に応じて予習をすること、また、演習は必ず自力で解くこと（計2時間程度）
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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60
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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30
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レポート/Reports
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小テスト/Quizzes
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5
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授業での発表内容、授業への参加度、グループ作業の成果など/Presentation content in class, Participation level in class, Group Work, etc.
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5
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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(1)整数や多項式における諸性質や計算の原理が理解できているか、(2)それらの性質や原理を、群や環の抽象理論を通して理解できるか、(3)整数や多項式だけでなく抽象的な代数系理論に一般化できるか、の三段階を評価のポイントとする。
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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教科書/Textbook
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『代数学教本』
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海老原 円
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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数学書房
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2018
年
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9784903342856
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference
Book
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『代数と数論の基礎』
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共立講座21世紀の数学
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中島匠一
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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2000
年
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9784320015616
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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この講義は２年生の必修科目である「代数入門」の内容に習熟していることを前提とする。また、１年生の履修科目「集合と論理」の内容をよく復習しておくこと。特に、全射、単射などの写像の基本性質、同値関係と同値類については既知とする。
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その他/Other
Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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