授業概要/Course
Description
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1年生の線形代数の講義では、行列と線形写像という2つの新しい概念が導入されました。これらは表裏一体のもので、行列が与えられると、それは線形写像を定め、逆に線形写像が与えられると、それを行列で表現することができます。この講義ではまず、行列と線形写像のこの対応を復習します。
線形代数の究極の目標は、線形写像をより分かりやすく理解することです。そのためには、線形写像を記述する行列（表現行列）が簡単な形（標準形）になるような基底を選ぶことが重要です。本講義では、特に定義域と値域が一致する線形写像、すなわち線形変換を扱います。
線形変換の表現行列が対角行列になる基底を選べる場合、その線形変換は「対角化可能である」と言われます。1年生の時に学んだように、線形写像の対角化は、もしそれが可能ならば、固有値と固有ベクトルを用いて実現されるものでした。この講義では、線形変換の対角化についての基本的な内容も復習します。
しかし、すべての線形変換が対角化可能なわけではありません。本講義の目標は、任意の線形変換について基底を適切に選ぶことで、その表現行列を「ジョルダン標準形」という形にできることを示すことです。なお、ジョルダン標準形が対角行列になる場合、それは線形変換が対角化可能であることを意味します。
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到達目標/Course
Objectives
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線形空間、線形写像の概念を思い出し、理解を深めること。
固有値、固有ベクトル、行列の対角化を思い出し、理解を深めること。
ジョルダン標準形の理論を理解し、特に、ジョルダン標準形を不自由なく求められるようになること。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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線形写像の表現行列と基底の取り換えによるその変化
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第2回
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固有値、固有ベクトル
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第3回
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固有空間への直和分解可能性
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第4回
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ケーリー・ハミルトンの定理、行列、線形写像の最小多項式
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第5回
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ジョルダン標準形とはなにか？
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第6回
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ジョルダン標準形の求め方
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第7回
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中間理解度の確認
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第8回
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ジョルダン標準形の存在定理の証明１
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第9回
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ジョルダン標準形の存在定理の証明２
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第10回
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ジョルダン分解1
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第11回
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ジョルダン分解２
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第12回
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ジョルダン分解の応用1
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第13回
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ジョルダン分解の応用2
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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授業方法/Teaching Method
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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外国語/Foreign Language
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日本語と外国語/Japanese and Foreign Languages
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外国語の種類/Foreign Language Types
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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1年生の線形代数の内容をよく復習しておくこと。特に、線形空間（ベクトル空間）、線形写像の表現行列、固有値と固有ベクトルについては、本講義で非常に重要です。もちろん、適宜、補足しますが、事前に復習しておくのが望ましいです。もし、講義ノートや資料が事前予習のために欲しい場合は、私まで連絡をください。
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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60
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講義内容を参考に出題する。
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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40
%
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講義内容を参考に出題する。
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レポート/Reports
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小テスト/Quizzes
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授業での発表内容、授業への参加度、グループ作業の成果など/Presentation content in class, Participation level in class, Group Work, etc.
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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教科書は使用しません。自主作成した講義ノートを使用します。履修を検討の段階で、この講義ノートが欲しい場合は、私まで連絡ください。
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参考文献/Reference
Book
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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その他/Other
Information
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今回の講義内容は、線形代数の中では、発展的な部分にあたりますが、大学の数学で線形代数は基礎分野として位置づけられます。せっかく、数学科に入ったからには、基礎は修得して卒業してほしいです。それに、線形代数は、Googleのページランキングに応用されるなど、実社会への応用も多いので、皆さんが働くようになって役立つ可能性がある数学の1つだと思います。というわけで、皆さんの積極的な履修を要望します。
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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