授業概要/Course
Description
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この講義では, Lyonsの1990 年代の仕事を皮切りに研究が盛んになったRough path理論という一見変わった線積分理論の一端を紹介する。通常の確率解析における確率積分は, マルチンゲール理論を通して定義されるが, Rough path理論では確率積分をpathwiseに(ある意味, 非確率論的に)定義できるため, 近年の確率解析にも新風をもたらしている。この講義では, 確率論の予備知識をほとんど仮定せずに, 基礎となる実解析的な考え方に重点を置いて話を進めていく予定である。
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到達目標/Course
Objectives
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(滑らかさの度合いが小さな)pathと反復積分の組が, Rough pathという枠組で理解され, これが駆動する微分方程式の解の構成, 一意性, さらには解の連続性定理の証明が, 自らの手でフォローできるようになることを到達目標とする。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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序論
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第2回
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Young積分 (I)
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第3回
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Young積分 (II)
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第4回
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(滑らかな)pathの反復積分とrough pathの概念
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第5回
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Rough pathのなす空間
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第6回
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Lyonsの拡張定理
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第7回
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Rough pathが駆動する線形微分方程式の解法
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第8回
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Controlled pathの概念
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第9回
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Rough pathに沿った線積分 (I)
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第10回
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Rough pathに沿った線積分 (II)
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第11回
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Rough pathで駆動された微分方程式 (I)
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第12回
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Rough pathで駆動された微分方程式 (II)
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第13回
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確率解析への応用
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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以上は講義内容予定のトピックであり, 実施回毎のテーマではありません。出席者の理解度等に応じて, 講義内容を変更 する可能性もあります。また必要に応じて補講を行います。
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授業方法/Teaching Method
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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外国語/Foreign Language
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日本語と外国語/Japanese and Foreign Languages
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外国語の種類/Foreign Language Types
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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準備学習：常微分方程式の解の存在性/一意性定理を復習しておくこと。
予習よりも復習に重点を置いて欲しい。記号が複雑になりがちな分野なので, 講義内容を手を動かしてノートにまとめると良い。(毎週3時間程度)
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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40
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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50
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小テスト/Quizzes
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授業での発表内容、授業への参加度、グループ作業の成果など/Presentation content in class, Participation level in class, Group Work, etc.
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10
%
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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授業出席は単位取得のための必要条件であり, 授業の進行具合によって適宜レポート課題を提示する。 この科目 は学部生が受講することができる大学院科目であり, 大学院生の成績評価は専攻および課程ごとの専門的な観点を 加えて行う。
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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学生からのレポートの内容をもとに, 授業への反映や資料配布等を行なう。
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教科書/Textbook
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『ラフパス理論と確率解析』
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岩波数学叢書
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稲濱 譲
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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岩波書店
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2022
年
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978-4000298575
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference
Book
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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その他/Other
Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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