授業概要/Course Description
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Morse (モース) 理論の基本的事項を学びます。Morse 理論はトポロジーにおける基本的な手段で、多様体上の Morse 関数という「性質のいい関数」を取って多様体の「形を見る」ための手段を提供します。また Morse 関数を使うと多様体を「ハンドル体」と呼ばれる基本的なパーツに分解することができ、多様体の代数トポロジー的な側面も捉えることができるようになります。この講義ではできるだけ具体例を多く扱うことで Morse 理論に慣れると共に、現代の低次元トポロジー (3, 4次元多様体の研究) への展開についても積極的に触れたいと思います。
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到達目標/Course Objectives
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Morse 理論を論理的にも感覚的にも理解し、具体例に対して理論を使えるようになること。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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導入 〜 曲面上の Morse 理論
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第2回
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Morse 関数と Morse の補題
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第3回
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Morse 関数の例
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第4回
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上向きベクトル場
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第5回
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多様体のハンドル分解
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第6回
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ハンドルの操作 〜 ハンドルスライドとハンドル消去
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第7回
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ホモロジー理論の復習
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第8回
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多様体のホモロジーと Morse の不等式
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第9回
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Poincare 双対定理と交差形式
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第10回
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基本群と van-Kampen の定理
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第11回
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3次元多様体
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第12回
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4次元多様体
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第13回
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h-同境界定理 〜 5次元以上の一般化 Poincare 予想の解決
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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授業方法/Teaching Method
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使用言語/Language of Instruction
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準備学習 (予習・復習)/Class preparation and review
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位相空間論の基礎的事項(位相空間や連続写像の定義、連結性・コンパクト性などの基本的概念)、多様体論の基礎的事項(多様体の定義や具体例、ベクトル場や積分曲線などの基本的概念)の知識は前提とします。講義の後半では代数トポロジーの基本的事項(チェイン複体やホモロジー群の定義、計算方法)を前提します。講義の進度は履修者の理解度に応じて調整します。
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成績評価の 方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験(第1学期)/First Term examination
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学年末試験(第2学期)/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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100
%
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小テスト/Quizzes
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平常点(出席、クラス参加、グループ作業の成果等)/Participation, Attendance, Group Work, etc.
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント 各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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レポート課題は中間・期末の2回出す予定です。
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課題等(試験やレポート等)に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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レポートの総評をフィードバックします。希望者には個別に採点済のものを返却します。
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教科書/Textbook
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『Morse 理論の基礎』
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松本幸夫
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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岩波書店
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4
版
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2015
年
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ISBN4-00-006056
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2.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『微分位相幾何学』
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田村一郎
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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岩波書店
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OD
版
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2015
年
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ISBN978-4-00-730235
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3.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『Lectures on the h-Cobordism Theorem』
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John Milnor
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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Princeton University Press
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1965
年
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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講義は 1. 松本幸夫『Morse 理論の基礎』 に沿って行います。発展的事項については随時 2. 田村一郎『微分位相幾何学』 を参照します。3. J. Milnor 『Lectures on the H-Cobordism Theorem』 は最終回のトピックですが、Morse 理論に関する深い理解を与えてくれる名著です。
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参考文献/Reference Book
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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その他/Other Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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