授業概要/Course
Description
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現代の代数学の最も基本的な対象は「（通常の）整数」であり、整数に関する基本理論が「初等整数論」と呼ばれている。この講義の目的は、初等整数論の成果を紹介することにより、「抽象代数学」への入門を行うことである。
具体的内容としては、まず、最大公約数・最小公倍数や素数・合成数の概念を導入して、素因数分解の一意性の証明を行う。次の重要テーマは「整数の合同」で、これがこの講義のメインテーマである。合同式の定義を行った後、１次合同式の解法、中国剰余定理、フェルマーの小定理とその拡張としてのオイラーの定理、などを解説する。合同式の重要な応用として、RSA 暗号にも触れる予定である。
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到達目標/Course
Objectives
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「整数の合同」の意味と性質を理解することが、重要な目標である。合同式の理解に関して、「同値関係における同値類」として「合同類」が登場するが、この「合同類」を十分理解することが、講義の重要な目標となる。なぜなら、現代の代数学に頻繁に登場する「剰余類」を使いこなすためには、「整数の合同類」の理解が最初のステップだからである。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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導入、および、整数の演算の復習
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第2回
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整数の演算に関する演習
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第3回
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ユークリッドの互除法と最大公約数
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第4回
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ユークリッドの互除法に関する演習
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第5回
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素因数分解の一意性
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第6回
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素因数分解の演習
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第7回
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整数の合同：定義と基本性質
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第8回
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合同式に関する演習
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第9回
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中国剰余定理
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第10回
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中国剰余定理の実例
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第11回
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整数の合同類（＝剰余類）と、その演算
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第12回
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合同類に関する演習
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第13回
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既約剰余類の逆元
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第14回
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合同類の逆元の計算
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第15回
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１次合同式の解法
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第16回
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１次合同式のの解の計算
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第17回
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フェルマーの小定理とオイラーの定理
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第18回
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合同式についてのベキ乗の計算
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第19回
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既約剰余類の位数（＝オーダー）
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第20回
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位数に関する演習
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第21回
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RSA 暗号：合同式の応用
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第22回
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暗号の実例
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第23回
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２次合同式と平方剰余
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第24回
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平方剰余の演習
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第25回
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平方剰余の相互法則
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第26回
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理解度の確認
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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授業計画での各回の授業内容は、だいたいの「目安」であって、授業の進度によって変わることがあるので、注意すること。
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授業方法/Teaching Method
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原則として、月曜4限には講義を行い、木曜3限には小テストを行う。
ただし、この割り振りが変更されることもあるので、連絡に注意すること。
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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英語/English
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日本語・英語以外/Other Language
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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講義内容のプリントを配布するので、講義の前にプリントを読んで予習しておくことが望ましい。
また、小テストによって自分の理解度をチェックすることが求められる。
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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50
%
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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小テスト/Quizzes
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40
%
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小テストの解答により評価
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平常点（出席、クラス参加、グループ作業の成果等）/Participation, Attendance, Group Work, etc.
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10
%
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小テストへの参加
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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学期末試験、小テストともに、理論の正しい理解と的確な計算力が求められる。
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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小テストについては、後日、解答例と講評を提示する。
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference
Book
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『初等整数論講義』
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高木貞治
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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2
版
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1971
年
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2.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『整数論入門』
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共立全書 517
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ヴィノグラードフ
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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1
版
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1959
年
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3.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『代数と数論の基礎』
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２１世紀の数学 9
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中島匠一
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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1
版
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2000
年
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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講義ではプリントを配布するので、特定の教科書は指定しない。しかし、参考書を参照したい人もいると思うので、講義内容に則した本をあげておいた。
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履修上の注意/A Note on Registration
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その他/Other
Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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