授業概要/Course
Description
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超関数およびフーリエ変換の基礎理論、ソボレフ空間の基礎理論を学び、線型楕円型偏微分方程式に対する境界値問題や固有値問題の基礎的な内容を学ぶ。さらに、種々の変分法に基づいた非線形変分問題の解析法を味わうこととする。
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到達目標/Course
Objectives
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古典解析、超関数及び関数解析を用いて、偏微分方程式に対する境界値問題の解の一意存在及びその性質や固有値問題の基礎を取得するとともに、非線形変分問題への応用を味わうことを目標とする。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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ルベーグ空間
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第2回
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畳み込み、軟化子
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第3回
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超関数、超関数微分
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第4回
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いい関数のフーリエ反転公式
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第5回
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急減少関数とそのフーリエ変換
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第6回
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緩増加超関数とそのフーリエ変換
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第7回
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ラプラシアンの基本解、ポアソン方程式、最大値原理
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第8回
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ソボレフ空間と基本的性質
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第9回
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ソボレフの埋め込み定理
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第10回
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ソボレフの不等式、レリッヒのコンパクト性定理
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第11回
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楕円型境界値問題の弱解の一意存在
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第12回
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弱収束、コンパクト作用素とその固有値
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第13回
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楕円型固有値問題
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第14回
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変分法入門（直接法）
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第15回
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制限付き変分問題
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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進度の状況によっては、多少内容の取捨選択を行うことがある。
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授業方法/Teaching Method
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講義教室/Classroom for Lecture
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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英語/English
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日本語・英語以外/Other Language
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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50
%
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最終レポート課題を課す
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小テスト/Quizzes
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30
%
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毎回課題を課す
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平常点（出席、クラス参加、グループ作業の成果等）/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.
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20
%
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授業参加度
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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授業時の質疑応答等で、授業参加度を測る。
毎回、軽めの課題に取り組んでももらい、毎回の内容の理解を深める助けとする。
最終レポート課題は、授業の総合的理解を問う課題を数題課して、理解度を測るものとする。
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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レポートに対しては、解答例の提示やコメントによるフィードバックを行う。
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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教科書は特に指定しない。毎回の講義ノートは、準備する予定である。
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参考文献/Reference
Book
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『関数解析』
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共立数学講座
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黒田 成俊
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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初
版
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1980
年
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9784320011069
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2.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『超関数・フーリエ変換入門』
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SGCライブラリ72
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磯崎 洋
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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サイエンス社
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初
版
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2010
年
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0386-8257
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3.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『偏微分方程式入門』
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神保 秀一
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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初
版
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2014
年
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978-4-320-01809-9
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4.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『Partial Differential Equations』
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Graduate Studies in Math.
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L.C.Evans
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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Amer.Math.Soc.
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2
版
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2010
年
|
978-0-8218-4974-3
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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特に購入する必要はないが、手ごろな１冊としては、「神保」がバランスよく程度な分量のテキストであるので手元にあると望ましい。
前半の超関数および関数解析については、「黒田」及び「磯崎」を参照されたい。
後半のソボレフ空間及び偏微分方程式、変分法については、「黒田」、「神保」、「Evans」を参照されたい。
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履修上の注意/A Note on Registration
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ガウスの発散定理などの古典解析、ルベーグ積分の基礎（ルベーグの収束定理やフビニ定理）、関数解析の初歩（バナッハ空間、ヒルベルト空間、有界線形作用素に関する基礎事項）は、授業で適宜復習しながら用いる。
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その他/Other
Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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