授業概要/Course
Description
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現代確率論は、Brown運動の軌道の集合であるWiener空間と呼ばれる経路空間上の解析学という側面を持っており、偏微分方程式や幾何学などの数学の他分野に留まらず、数理ファイナンスなどの応用分野にも大きな影響を与えている。この講義では(測度論に関する予備知識を前提として)、確率過程論と確率解析のさわりについて学んでいく。特にNobert WienerによるFourier解析的な手法によるBrown運動の構成法の紹介を第一の目標とする。その後、Brown運動に関する確率積分および伊藤の公式を紹介し、Feynman-Kacの公式と偏微分方程式の関係を述べる。最後にこの公式の応用としてBrown運動の正側滞在時間に関する逆正弦定理を証明する予定である。
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到達目標/Course
Objectives
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確率過程論について学び、特にBrown運動の基本性質を理解して、確率積分に関する計算ができるようになる。またFeynman-Kacの公式を通してBrown運動と偏微分方程式の関連性も理解できるようになる。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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Intoroduction: 熱方程式の一解法を通したWiener測度の直感的導入
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第2回
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測度論的確率論の基礎 (1): 確率空間, 確率変数, 分布測度
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第3回
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測度論的確率論の基礎 (2): 確率変数列の収束
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第4回
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測度論的確率論の基礎 (3): 独立性と特性関数
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第5回
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独立同分布確率変数列の構成法
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第6回
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Brown運動 (1): 構成
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第7回
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Brown運動 (2): 基本性質
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第8回
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条件付き期待値
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第9回
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マルチンゲール
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第10回
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確率積分 (1): 定義
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第11回
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確率積分 (2): 基本性質
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第12回
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伊藤の公式
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第13回
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Feynman-Kacの公式と熱方程式
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第14回
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応用：Brown運動の正側滞在分布に関する逆正弦法則
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第15回
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予備日
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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以上は講義内容予定のトピックであり、実施回毎のテーマではありません。出席者の理解度等に応じて、講義内容を変更する可能性もあります。また必要に応じて補講を行います。
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授業方法/Teaching Method
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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英語/English
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日本語・英語以外/Other Language
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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測度論的確率論の基礎知識が必要不可欠であるため、測度論と確率論の復習をしておくこと (1時間)。また講義内容に付随した演習問題に各自で取り組み、理解を深めておくこと (2時間)。
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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40
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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50
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小テスト/Quizzes
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平常点（出席、クラス参加、グループ作業の成果等）/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.
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10
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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授業出席は単位取得のための必要条件であり, 授業の進行具合によって適宜レポート課題を提示する。 この科目は学部生が受講することができる大学院科目であり, 大学院生の成績評価は専攻および課程ごとの専門的な観点を加えて行う。
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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学生からのレポートの内容をもとに, 授業への反映や資料配布等を行なう。
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference
Book
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『確率解析』
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数理経済学叢書
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楠岡 成雄
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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知泉書館
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2.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『入門 確率解析とルベーグ積分』
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森 真
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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東京図書
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3.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『応用のための確率論・確率過程』
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SGCライブラリ36
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松本 裕行
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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サイエンス社
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4.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『確率論』
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共立講座数学の魅力4
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高信 敏
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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5.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『確率微分方程式』
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舟木 直久
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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岩波書店
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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この科目を3年生以下が受講することは制度上は可能であるが, 測度論に慣れていないために, 講義についていくこと, さらには良い成績をとることは容易ではない。よって3年生以下が履修申告する際は,そのことを承知の上で申告すること。
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その他/Other
Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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