授業概要/Course Description
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整数係数2次方程式の有理数でない解を複素2次無理数という. (1) 複素2次無理数, (2) 2次整環(可換環となる), (3) 整数係数2元2次形式, の3つの世界は互いに絡み合い, 三位一体の世界を作る. 本科目は整数係数2次方程式の実数解, すなわち実2次無理数を主に扱う. その際, 連分数の概念は主要な道具となる. 実数を表示する方法として10進法小数は日常的に使うが, 別な表示方法として連分数がある. この表示を使うとどのような世界が開かれるのかを見る. とくに実2次無理数の連分数による古典的な特徴付けを学ぶ.
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到達目標/Course Objectives
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連分数の具体的な計算に慣れてほしい. 計算機と連分数は相性が良い. プログラムはC言語で書き, 整数論計算ソフトPARI/GPを使う. 第1回目でPARI/GP(MS-Windows版)のインストールの仕方と使い方の説明をする. (私はMacintoshを使ったことがありません.) また数値実験の結果を紹介するのでその面白さを知ってほしい.
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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予備知識のまとめとPARI/GPの簡単な使い方
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第2回
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連分数の記法と漸化式
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第3回
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実数の連分数展開
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第4回
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2次無理数のtypeの導入
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第5回
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2次判別式の不変量
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第6回
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1次分数変換で商集合を作る
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第7回
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reducedな実2次無理数とその連分数展開
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第8回
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正の2次判別式の類数
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第9回
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Pell方程式の解集合
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第10回
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「基本実2次無理数」の連分数展開(対称性, 周期性)
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第11回
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Pell方程式の整数解を計算する
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第12回
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「基本実2次無理数」の連分数展開の対称部分
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第13回
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対称な有限自然数列と「基本実2次無理数」の連分数展開
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第14回
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与えられた対称部分をもつ連分数展開の構成
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第15回
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理解度の確認
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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主にHalter-Kochの本の記述に従う講義ノートとプログラムを配布する.
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授業方法/Teaching Method
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Moodleを使用して教材(音声ファイルと講義ノート)の配信を行い, レポート課題の提出をしてもらう.
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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英語/English
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日本語・英語以外/Other Language
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準備学習 (予習・復習)/Class preparation and review
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「微分積分」「線形代数」「代数入門」における知識は仮定される. 随時, 各自復習してほしい. また参考文献に当たって理解を深めることは大切です.
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成績評価の 方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験(第1学期)/First Term examination
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学年末試験(第2学期)/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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70
%
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小テスト/Quizzes
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平常点(出席、クラス参加、グループ作業の成果等)/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.
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30
%
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント 各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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Moodleを使用してレポート課題の提出をしてもらう. 3分の2以上の提出が必須で平常点にもなる.
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課題等(試験やレポート等)に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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授業内容の理解と課題問題が解けるかを評価する. また配布プログラムの理解度を見る.
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference Book
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『Quadratic irrationals, An introduction to classical number theory』
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F.Halter-Koch
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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CRC Press
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2013
年
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2.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『なっとくするオイラーとフェルマー』
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小林昭七
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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講談社
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2003
年
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3.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『An introduction to algebraic number theory』
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T.Ono
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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Plenum Press
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1990
年
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4.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『Elementary number theory and its applications』
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K.H.Rosen
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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Addison Wesley
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2010
年
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5.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『初等整数論講義』
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高木貞治
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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1971
年
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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その他/Other Information
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Pell方程式の自然数解を求める課題問題(第11回)を出題しますが、この問題を解くことは必須です.
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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