授業概要/Course
Description
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中学や高校で学んだように、２次方程式を解くために、数の範囲を広げて無理数を考えたり複素数を導入する必要があった。この講義では、「数の範囲を広げる」という考え方の一般化として、体の代数拡大の理論を解説する。方程式が与えられると、多項式環の剰余環が自然に定義され、それが代数拡大、すなわち「数」の体系を定め、その結果、方程式の解が「数」として認識できるようになる。一般に、１つの方程式は複数の解を持つが、それらは代数的には区別できない…、にもかかわらず、解の間には規則的な関係が存在する。その規則性は「群」によって表され代数拡大を統制する。それらを精密に記述したものがガロア理論である。講義の最終目標は、方程式のベキ根による可解性をガロア理論によって説明することである。
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到達目標/Course
Objectives
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方程式と解の関係が、多項式環の剰余構造を通して代数拡大の性質として捉えられることを理解し、幅広い応用が可能になる。
代数拡大の諸概念（拡大次数、共役元、共役写像、自己同型群）の定義や導出方法を理解し、計算のアルゴリズムを具体的に構築できる。
代数拡大の理論展開において、線形代数、群論、環論の手法を十分に使いこなせるようになる。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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2次、3次、4次方程式の解の公式
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第2回
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体の拡大、拡大次数
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第3回
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代数的元
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第4回
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代数拡大
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第5回
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根の添加.
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第6回
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代数的閉体と共役元
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第7回
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標数
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第8回
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分離拡大
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第9回
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正規拡大
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第10回
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ガロア拡大
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第11回
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ガロア対応
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第12回
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ガロア対応の例
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第13回
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クンマー拡大
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第14回
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可解性
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第15回
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理解度の確認
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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授業方法/Teaching Method
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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英語/English
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日本語・英語以外/Other Language
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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毎回の授業においては、復習を欠かさず、また指示に従って予習をすること（計１～２時間）。
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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80
%
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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小テスト/Quizzes
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15
%
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平常点（出席、クラス参加、グループ作業の成果等）/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.
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5
%
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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(1)代数拡大の諸概念について理解できているか、(2)線形代数、群論、環論を代数拡大の理論や方程式論に応用できているか、(3)方程式論と代数拡大との関係の大枠が理解できているか、の三段階を評価のポイントとする。
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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小テストについて簡単に解説し、必要に応じて回答に対する講評を行う。
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference
Book
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『代数学3 体とガロア理論』
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桂 利行
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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東京大学出版会
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2005
年
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9784130629539
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2.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『ガロア理論（電子版）』
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SDB Digital Books
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中野 伸
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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サイエンス社
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2008
年
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978-4-7819-9951-7
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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線形代数学、群論、可換環論の基本事項（線形写像の行列表現、基底、次元、行列式、剰余群、イデアル、剰余環など）は仮定する。
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その他/Other
Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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