授業概要/Course Description
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現代の代数学の最も基本的な対象は「(通常の)整数」であり、整数に関する基本理論が「初等整数論」と呼ばれている。この講義の目的は、初等整数論の成果を紹介することにより、「抽象代数学」への入門を行うことである。 具体的内容としては、まず、最大公約数・最小公倍数や素数・合成数の概念を導入して、素因数分解の一意性の証明を行う。次の重要テーマは「整数の合同」で、これがこの講義のメインテーマである。合同式の定義を行った後、1次合同式の解法、中国剰余定理、フェルマーの小定理とその拡張としてのオイラーの定理、などを解説する。合同式の重要な応用として、RSA 暗号にも触れる予定である。
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到達目標/Course Objectives
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「整数の合同」の意味と性質を理解することが、重要な目標である。合同式の理解に関して、「同値関係における同値類」として「合同類」が登場するが、この「合同類」を十分理解することが、講義の重要な目標となる。なぜなら、現代の代数学に頻繁に登場する「剰余類」を使いこなすためには、「整数の合同類」の理解が最初のステップだからである。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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導入:初等整数論とは何か?
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第2回
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整数の演算:特に割り算について
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第3回
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最大公約数・最小公倍数とユークリッドの互除法
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第4回
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素数・合成数と素因数分解の一意性
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第5回
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整数の合同:定義と基本性質
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第6回
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中国剰余定理
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第7回
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整数の合同類(=剰余類)と、その演算
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第8回
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既約剰余類の逆元、および、零因子
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第9回
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1次合同式の解法
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第10回
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フェルマーの小定理とオイラーの定理
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第11回
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既約剰余類の位数(=オーダー)
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第12回
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RSA 暗号:合同式の応用
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第13回
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2次合同式と平方剰余
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第14回
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平方剰余の相互法則
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第15回
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理解度の確認
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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授業方法/Teaching Method
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月曜4限は、対面で講義を行う。 演習の時間として設定されている木曜3限には、オンラインで演習問題を提示し、その解答を(期限内に)提出してもらう。 問題の提示法とレポートの提出法については、適宜指示をするので、それに従ってほしい。
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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英語/English
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日本語・英語以外/Other Language
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準備学習 (予習・復習)/Class preparation and review
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オンラインで学習用のプリントを配布するので、講義の前にプリントを読んで予習しておくことが望ましい。 また、講義の後は、講義内容を復習し、提出された演習問題に(自力で)解答することが求められる。
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成績評価の 方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験(第1学期)/First Term examination
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40
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学年末試験(第2学期)/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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30
%
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小テスト/Quizzes
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平常点(出席、クラス参加、グループ作業の成果等)/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.
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30
%
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント 各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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平常点は、レポートの提出状況によって評価する。
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課題等(試験やレポート等)に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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提出されたレポートは、採点終了後、それぞれの評価点を知らせると共に、間違いの多かった点、一般的な注意点などを「講評」として配布する。
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference Book
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『初等整数論講義』
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高木貞治
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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2
版
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1971
年
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2.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『整数論入門』
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共立全書 517
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ヴィノグラードフ
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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1
版
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1959
年
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3.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『代数と数論の基礎』
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21世紀の数学 9
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中島匠一
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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共立出版
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1
版
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2000
年
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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講義ではプリントを配布するので、特定の教科書は指定しない。しかし、参考書を参照したい人もいると思うので、講義内容に則した本をあげておいた。
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履修上の注意/A Note on Registration
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その他/Other Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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