授業概要/Course
Description
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代数幾何学とは、F1,...,Fkを変数x1,...,xnについての有限個の多項式とするとき、連立方程式F1=...=Fk=0の解集合を、x1,...,xnを座標とする空間の部分集合と見て（このとき、この部分集合のことを代数多様体と呼ぶ）、幾何学的に研究する学問である。例えば、k=1, n=2で多項式F1の次数が２であるときは、代数多様体として、おなじみの2次曲線が出てくる。この講義では、多項式F1,...,Fk、その個数k, 変数の数nを色々変えて、代数多様体の様々な例を提示して、代数幾何学とはどんな学問かを概観する。
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到達目標/Course
Objectives
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代数多様体の様々な例に触れながら、代数幾何学を作り上げてきた偉大な先人たちが、それらにどのようなアプローチをしてきたかを学び、代数幾何学の面白さを体感すること。古典的に有名な面白い例を選んでいくので、その面白さを堪能してもらいたい。
なお、この科目は、博士前期課程、博士後期課程の共通科目になっているが、前期課程大学院生には、より高度な学修と成果が求められ、後期課程大学院生には、より専門的な見地からの高度な学修と成果が求められる。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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代数多様体の住処--射影空間--, 代数多様体の例
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第2回
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代数多様体の基本性質（特異点、接空間など）、代数多様体の例
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第3回
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1次元の代数多様体（代数曲線の例（2、３，4次曲線、ねじれ3次曲線など）
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第4回
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代数曲線の性質（特異点、変曲点、接線など）
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第5回
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2次曲線とポンスレの定理
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第6回
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面白い曲線の例（フェルマ4次曲線、クライン4次曲線など）
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第7回
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2次元の代数多様体（代数曲面）の例（２，３，４次曲面、デルペッツオ曲面、K3曲面など）
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第8回
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代数曲面の性質（特異点、代数曲面に含まれる代数曲線など）
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第9回
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2次曲面とそれに含まれる直線
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第10回
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3次曲面に含まれる27本の直線（フェルマ３次曲面やクレブッシュ3次曲面などを例として）
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第11回
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3次元の代数多様体（代数立体）の例（２，３，４次立体、Fano多様体、Calabi-Yau多様体など）
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第12回
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代数立体に含まれる代数曲線、代数曲面
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第13回
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代数立体の様々な構成法（切って作る、2重被覆を取る、双有理変換して作る、など）
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第14回
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極小モデルという考え方
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第15回
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理解度の確認
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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授業方法/Teaching Method
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この講義は原則対面で、黒板を使った古典的な数学の授業方式によって、行われる。
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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英語/English
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日本語・英語以外/Other Language
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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予習の必要はないが、講義の流れを見失わぬよう、適宜、復習していくことが望ましい。また、レポート問題はなるべく出題されたらすぐ取り組む方がよい。
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考 / Remarks
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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100
%
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中間レポートと期末レポート
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小テスト/Quizzes
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平常点（出席、クラス参加、グループ作業の成果等）/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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成績評価は専攻および課程ごとの専門的な観点を加えて行う。
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference
Book
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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教科書、参考書は使わず、毎回、その都度、準備したノートをもとに講義します。履修者の理解度や反応を見ながら、題材等を選んでいき、ノートを作成していきますので、事前の予習は難しいと思います。この点ご了承ください。
出席は取りませんが、原則、毎回、講義には出席してほしいです。
講義に欠席した場合、私からノート等の提供はしませんので、聴講者同士でやりくりをしてください。
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その他/Other
Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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