授業概要/Course
Description
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中学や高校で学んだように、２次方程式を解くために、数の範囲を広げて無理数を考えたり、複素数を導入する必要があった。この講義では、「数の範囲を広げる」という考え方の一般化として、体の代数拡大の理論を解説する。代数拡大は、多項式環の剰余構造を通して理解することができるが、これにより、一見扱い難いと思われる無理数を含む数体系を有理数や整数の範囲で表すことができる。この考え方により、無理数に関して、近似ではない精密な計算をコンピュータ上で遂行でき、方程式論の現代的な応用が実現可能となる。ふつう代数学の学習順序としては、線形代数、群論、環論、体論、…と進むが、歴史的には、素朴で具体的な四則演算をともなう数の集合である体を舞台とする方程式論から、群論という抽象的な理論が生まれ、さらに環論と線形代数の言葉を使ってより洗練された形に整理されてきた。それをふまえ、線形代数、群、環、体の各理論を縦横に行き来しながら方程式論を展開する。
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到達目標/Course
Objectives
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方程式と解の関係が、多項式環の剰余構造を通して代数拡大の性質として捉えられることを学び、幅広い応用が可能になる。
体の代数拡大の諸概念（拡大次数、共役元、共役写像、自己同型群）の定義や導出方法を理解し、計算のアルゴリズムを具体的に構築できる。
代数拡大の理論展開において、線形代数、群論、環論の手法を十分に使いこなせるようになる。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回
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序論、2次、3次、4次方程式の解の公式
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第2回
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解と係数の関係、対称式の基本定理
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第3回
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体の拡大と拡大次数
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第4回
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代数的元
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第5回
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代数拡大
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第6回
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方程式と多項式環の剰余環
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第7回
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代数的閉体と共役元
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第8回
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共役写像、自己同型群
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第9回
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標数と分離性
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第10回
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分離拡大、正規拡大
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第11回
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ガロア拡大とガロア群
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第12回
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ガロア対応の原理
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第13回
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アーベル拡大、とくに円分拡大とクンマー拡大
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第14回
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方程式の可解性
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第15回
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理解度の確認
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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授業方法/Teaching Method
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授業方法（対面授業の場合） / Teaching Method (ｆace-to-face lessons)
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講義
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授業方法（遠隔授業の場合） / Teaching Method (online lessons)
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WebClass等を利用したオンデマンド授業
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使用言語/Language of Instruction
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日本語/Japanese
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1
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英語/English
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日本語・英語以外/Other Language
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準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
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毎回の授業においては、復習を欠かさず、また指示に従って予習をすること（計１～２時間）。
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考（対面形式の成績評価が実施できない場合の代替手段等） / Remarks (alternative methods, in case grading and evaluation in face-to-face format not possible)
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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75
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まとめのレポート課題
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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小テスト/Quizzes
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15
%
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平常点（出席、クラス参加、グループ作業の成果等）/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.
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10
%
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標についてどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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(1)代数拡大の諸概念について理解できているか、(2)線形代数、群論、環論を代数拡大の理論や方程式論に応用できているか、(3)方程式論と代数拡大との関係の大枠が理解できているか、の三段階を評価のポイントとする。
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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小テストについて簡単に解説し、必要に応じて回答に対する講評を行う。
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference
Book
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1.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『代数学3 体とガロア理論』
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桂 利行
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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東京大学出版会
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2005
年
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9784130629539
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2.
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書籍名/Title
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シリーズ名/Name of series
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著作者/Author
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『ガロア理論（電子版）』
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SDB Digital Books
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中野 伸
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出版元/Publisher
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版/Edition
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出版年/Year
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ISBN
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サイエンス社
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2008
年
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978-4-7819-9951-7
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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線形代数学、群論、可換環論の基本事項（線形写像の行列表現、基底、次元、行列式、剰余群、イデアル、剰余環など）は仮定する。
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その他/Other
Information
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カリキュラムマップ/Curriculum map
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