シラバス参照

講義コード/Subject Code U430209101 
科目ナンバリング/Course Numbering 043A621 
講義名/Name of Subject 代数Ⅱ 
英文科目名/Name of Subject [English] Algebra II 
担当者名/Instructor

中野 伸

単位/Credits
配当年次/Year of Study 学部 3年~4年 
副題/Subtitle
体論と代数方程式論の入門 



授業概要/Course
Description
中学や高校で学んだように、2次方程式を解くために、数の範囲を広げて無理数を考えたり、複素数を導入する必要があった。この講義では、「数の範囲を広げる」という考え方の一般化として、体の代数拡大の理論を解説する。代数拡大は、多項式環の剰余構造を通して理解することができるが、これにより、一見扱いにくいと思われる無理数を含む数体系をコンピュータ上に実現することができ、方程式論の現代的な応用が可能となる。ふつう代数学の学習順序としては、線形代数、群論、環論、体論、…と進むが、歴史的には、素朴で具体的な体(すなわち四則演算をともなう数の集合)を舞台とする方程式論から、群論という抽象的な理論が生まれ、さらに環論と線形代数の言葉を使ってより洗練された形に整理されてきた。それをふまえ、線形代数、群、環、体の各理論を縦横に行き来しながら方程式論を展開する。 
到達目標/Course
Objectives
方程式と解の関係が、多項式環の剰余構造を通して代数拡大の性質として捉えられることを学び、幅広い応用が可能になる。
体の代数拡大の諸概念(拡大次数、共役元、共役写像、自己同型群)の定義や導出方法を理解し、低次数の場合には計算によって具体化できる。
代数拡大の理論展開において、線形代数、群論、環論の手法を十分に使いこなせるようになる。 
授業内容/Schedule
実施回/Week 内容/Contents
第1回 序論、2次、3次、4次方程式の解の公式 
第2回 解と係数の関係、対称式の基本定理 
第3回 体の拡大と拡大次数 
第4回 代数的元 
第5回 代数拡大 
第6回 方程式と多項式環の剰余環 
第7回 代数的閉体と共役元 
第8回 共役写像、自己同型群 
第9回 標数と分離性 
第10回 分離拡大、正規拡大 
第11回 ガロア拡大とガロア群 
第12回 ガロア対応の原理 
第13回 アーベル拡大、とくに円分拡大とクンマー拡大 
第14回 方程式の可解性 
第15回 理解度の確認 
授業計画コメント/Comments on the Schedule
必要に応じて上記の順序を変更することがあり得る。 
授業方法/Teaching Method
授業方法(対面授業の場合) / Teaching Method (face-to-face lessons)  
講義 
授業方法(遠隔授業の場合) / Teaching Method (online lessons)  
WebClass等を利用したオンデマンド授業 
使用言語/Language in Class
日本語/Japanese   英語/English     日本語・英語以外/Other Language    
準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
線形代数学、群論、可換環論の基本概念(行列式、基底、次元、剰余群、イデアル、剰余環など)について復習しておくこと。
毎回の授業においては、前回までの内容を理解しておくこと(1時間以上)。指示に従って、予習をすること。 
成績評価の
方法・基準/Evaluation
評価項目/Criteria 評価配分(%)/Percentage 備考(対面形式の成績評価が実施できない場合の代替手段等) / Remarks (alternative methods, etc., in case grading and evaluation in face-to-face format not possible)
学期末試験(第1学期)/First Term examination      
学年末試験(第2学期)/Second Term examination   75  % まとめのレポート課題 
中間テスト/Mid-term examination      
レポート/Reports      
小テスト/Quizzes   15  %  
平常点(出席、クラス参加、グループ作業の成果等)/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.   10  %  
その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)      
成績評価コメント
各目標にどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:  
(1)代数拡大の諸概念について理解できているか、(2)線形代数、群論、環論を代数拡大の理論や方程式論に応用できているか、(3)方程式論と代数拡大との関係の大枠が理解できているか、の三段階を評価のポイントとする。 
課題等(試験やレポート等)に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
小テストの回答に対して簡単に講評する。 
教科書/Textbook
教科書コメント/General Comments on the Textbooks
教科書は用いない。
講義ノートを用意する。 
参考文献/Reference
Book
1. 書籍名/Title   シリーズ名/Name of series   著作者/Author  
『代数学3 体とガロア理論』    桂 利行 
出版元/Publisher   版/Edition   出版年/Year   ISBN  
東京大学出版会    2005  年 9784130629539 
2. 書籍名/Title   シリーズ名/Name of series   著作者/Author  
『ガロア理論(電子版)』  SDB Digital Books  中野 伸 
出版元/Publisher   版/Edition   出版年/Year   ISBN  
サイエンス社    2008  年 978-4-7819-9951-7 
参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
その他の参考文献は、講義中に紹介する。 
履修上の注意/A Note on Registration
第1回目の授業に必ず出席のこと。 
その他/Other
Information
講義や文献の命題や証明をそのまま鵜呑みにせず、つねに疑い、手を動かして計算や推論を繰り返し吟味し、腑に落ちるまで時間をかけて学習すること。 
カリキュラムマップ/Curriculum map
以下URLを参照
https://www.univ.gakushuin.ac.jp/life/curriculummap.html
 


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