シラバス参照

講義コード/Subject Code M430202101 
科目ナンバリング/Course Numbering 143F813 
講義名/Name of Subject 代数学特論Ⅲ(大学院) 
英文科目名/Name of Subject [English] Topics in Algebra Ⅲ 
担当者名/Instructor

中野 伸

単位/Credits
配当年次/Year of Study M 1年~2年 / D 1年~3年 
副題/Subtitle



授業概要/Course
Description
 代数体の整数論において重要な不変量であるイデアル類群とその位数である類数について講義する。フェルマーの最終定理の古典的アプローチを例として、整数論の様々な問題はイデアル類群の構造に帰着される場合が少なくない。この講義では、イデアル類群研究の手法について解説する。また、楕円曲線の算術を道具として利用した試みについて、とくに類数の可除性にどのように応用されるか述べる。はじめに、代数体の整数論および楕円曲線論の初歩を概説する。代数体の拡大においては、素数または素イデアルの分解や分岐などの振る舞い、すなわち局所理論が重要となるが、楕円曲線の算術においても局所的性質の観察が重要であることを述べる。代数体の素イデアルと楕円曲線の有理点から得られる因子の挙動の関係を調べることで、イデアル類群の新たな視点が得られることを説明する。 
到達目標/Course
Objectives
代数体のイデアル類群という整数論的対象に対し、局所理論を軸として楕円曲線論などの様々なアプローチが可能であることを学び、方法の多様性が数学においても重要であることを理解することがこの講義の目標である。
なお、この科目は、博士前期課程、博士後期課程の共通科目になっているが、前期課程大学院生には、より高度な学修と成果が求められ、後期課程大学院生には、より専門的な見地からの高度な学修と成果が求められる。 
授業内容/Schedule
実施回/Week 内容/Contents
第1回 代数学からの準備:可換環論、群論の諸概念についての復習 
第2回 体の代数拡大、とくにガロア拡大についての復習 
第3回 代数体の整数環とイデアル 
第4回 素イデアル分解の一意性 
第5回 ディリクレの単数定理 
第6回 代数体での素数の分解 
第7回 イデアル類群の導入 
第8回 不定方程式とイデアル類群 
第9回 楕円曲線 
第10回 モーデル・ヴェイユ群 
第11回 有限体上の楕円曲線への還元 
第12回 楕円曲線の類数問題への応用(その1)、2次体、3次体の例 
第13回 楕円曲線の類数問題への応用(その2)、5次体の2-類群について 
第14回 楕円曲線の類数問題への応用(その3)、2次体の 3,5,7-類群について 
第15回 まとめ 
授業計画コメント/Comments on the Schedule
初等整数論で学ぶ合同式や剰余類環、既約剰余類群については既知とする。また群論、可換環論の初歩についても十分復習しておくこと。 
授業方法/Teaching Method
授業方法(対面授業の場合) / Teaching Method (face-to-face lessons)  
講義 
授業方法(遠隔授業の場合) / Teaching Method (online lessons)  
Zoomによる同時配信型授業、またはWebClassによるオンデマンド授業 
使用言語/Language in Class
日本語/Japanese   英語/English     日本語・英語以外/Other Language    
準備学習
(予習・復習)/Class preparation and review
毎回、前回の講義内容を1時間程度かけて復習しておくこと。また、新たに定義された諸概念に対して、自分なりに例を構成したり文献から例を探したりして理解を深めること。 
成績評価の
方法・基準/Evaluation
評価項目/Criteria 評価配分(%)/Percentage 備考(対面形式の成績評価が実施できない場合の代替手段等) / Remarks (alternative methods, etc., in case grading and evaluation in face-to-face format not possible)
学期末試験(第1学期)/First Term examination      
学年末試験(第2学期)/Second Term examination      
中間テスト/Mid-term examination      
レポート/Reports   70  %  
小テスト/Quizzes      
平常点(出席、クラス参加、グループ作業の成果等)/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.   30  %  
その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)      
成績評価コメント
各目標にどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:  
成績評価は専攻および課程ごとの専門的な観点を加えて行う。 
課題等(試験やレポート等)に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
補足的な文献情報や、レポートの講評をホームページに掲載する予定 
教科書/Textbook
1. 書籍名/Title   シリーズ名/Name of series   著作者/Author  
『Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem』    Stewart and Tall 
出版元/Publisher   版/Edition   出版年/Year   ISBN  
Chapman and Hall/CRC Press  4  版 2015  年 9780367658717 
2. 書籍名/Title   シリーズ名/Name of series   著作者/Author  
『The Arithmetic of Elliptic Curves』  GTM 106  Silverman 
出版元/Publisher   版/Edition   出版年/Year   ISBN  
Springer-Verlag  2  版 2009  年 9781441918581 
教科書コメント/General Comments on the Textbooks
参考文献/Reference
Book
参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
履修上の注意/A Note on Registration
その他/Other
Information
カリキュラムマップ/Curriculum map
以下URLを参照
https://www.univ.gakushuin.ac.jp/life/curriculummap.html
 


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