授業概要/Course
Description
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整数論に現れるメビウス関数とその一般化について講義する。はじめに、メビウス関数の定義と簡単な性質を解説し、とくに反転公式とその応用例をいくつか紹介する。メビウス関数の定義は、ふつう素因数分解の形から定義されるが、その意味は分かりにくい。一方で、自然数上の整除関係に関する順序構造から定まる「隣接代数」の元としてメビウス関数を捉えることで、その性質を自然に理解することができる。そこで後半では、メビウス関数を半順序集合上の関数として一般化し、そこでの反転公式や組合せ論への応用例について解説する。
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到達目標/Course
Objectives
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初等整数論におけるメビウス関数の古典的な結果について理解し計算できるようになる。
整数論の様々な場面に現れるメビウス関数の性質を学び、プログラミング開発等に応用できるようになる。
メビウス関数の一般化を通して、古典的な理論から現代的な理論への進展を学び、数理科学発展の様相を知る。
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授業内容/Schedule
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実施回/Week
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内容/Contents
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第1回 /
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メビウス関数の定義
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第2回 /
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メビウス関数の基本的性質
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第3回 /
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メビウスの反転公式
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第4回 /
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反転公式の証明
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第5回 /
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応用１、オイラー関数との関連
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第6回 /
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応用２、数え上げ問題
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第7回 /
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応用３、円分多項式の決定
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第8回 /
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ゼータ関数との関連
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第9回 /
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半順序集合
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第10回 /
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隣接代数の定義
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第11回 /
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隣接代数上のメビウス関数
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第12回 /
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反転公式の証明
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第13回 /
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隣接代数の例と応用
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第14回 /
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反転公式の意味付け
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第15回 /
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まとめ
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授業計画コメント/Comments on the Schedule
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授業方法/Teaching Method
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講義形式を基本とし、学生がどのような話題に興味を持つかコメントを求め、それに応じて授業を進める。
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使用言語/Language in Class
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準備学習
(予習・復習)/Class Preparation
(Preparation and Review)
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初回の授業までに、初等整数論（「代数入門」の内容）を復習しておくこと。
毎回、前回の講義内容を復習しておくこと（１時間以上）。
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成績評価の
方法・基準/Evaluation
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評価項目/Criteria
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評価配分(%)/Percentage
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備考/Comments
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学期末試験（第1学期）/First Term examination
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学年末試験（第2学期）/Second Term examination
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50
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中間テスト/Mid-term examination
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レポート/Reports
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40
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小テスト/Quizzes
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平常点（出席、クラス参加、グループ作業の成果等）/Particlpation, Attendance, Group Work, etc.
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10
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その他(備考欄を参照)/Other(see remarks column)
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成績評価コメント
各目標にどのような点が評価のポイントになるか、具体的に記入してください。/General Comments on the Evaluation Criteria:
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課題等（試験やレポート等）に対するフィードバック/Feedback on Exams or Assignments
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補助資料をホームページに順次掲載する。
レポートの成果について授業で紹介し、授業内容に反映させる。
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教科書/Textbook
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教科書コメント/General Comments on the Textbooks
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参考文献/Reference
Book
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参考文献コメント/General Comments on the Reference Books
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履修上の注意/A Note on Registration
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その他/Other
Infomation
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